一套图 搞懂“时间复杂度”


我们在学Java的时候,经常会看到时间复杂度什么什么的,很多人可能不理解,下面一套图让你知道什么是“时间复杂度”。
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时间复杂度的意义

究竟什么是时间复杂度呢?让我们来想象一个场景:某一天,小灰和大黄同时加入了一个公司......


一天过后,小灰和大黄各自交付了代码,两端代码实现的功能都差不多。大黄的代码运行一次要花100毫秒,内存占用5MB。小灰的代码运行一次要花100秒,内存占用500MB。于是......




由此可见,衡量代码的好坏,包括两个非常重要的指标:

1.运行时间;

2.占用空间。



基本操作执行次数

关于代码的基本操作执行次数,我们用四个生活中的场景,来做一下比喻:

场景1:给小灰一条长10寸的面包,小灰每3天吃掉1寸,那么吃掉整个面包需要几天?


答案自然是 3 X 10 = 30天。

如果面包的长度是 N 寸呢?

此时吃掉整个面包,需要 3 X n = 3n 天。

如果用一个函数来表达这个相对时间,可以记作 T(n) = 3n。

场景2:给小灰一条长16寸的面包,小灰每5天吃掉面包剩余长度的一半,第一次吃掉8寸,第二次吃掉4寸,第三次吃掉2寸......那么小灰把面包吃得只剩下1寸,需要多少天呢?

这个问题翻译一下,就是数字16不断地除以2,除几次以后的结果等于1?这里要涉及到数学当中的对数,以2位底,16的对数,可以简写为log16。

因此,把面包吃得只剩下1寸,需要 5 X log16 = 5 X 4 = 20 天。

如果面包的长度是 N 寸呢?

需要 5 X logn = 5logn天,记作 T(n) = 5logn。

场景3:给小灰一条长10寸的面包和一个鸡腿,小灰每2天吃掉一个鸡腿。那么小灰吃掉整个鸡腿需要多少天呢?


答案自然是2天。因为只说是吃掉鸡腿,和10寸的面包没有关系 。

如果面包的长度是 N 寸呢?

无论面包有多长,吃掉鸡腿的时间仍然是2天,记作 T(n) = 2。

场景4:给小灰一条长10寸的面包,小灰吃掉第一个一寸需要1天时间,吃掉第二个一寸需要2天时间,吃掉第三个一寸需要3天时间.....每多吃一寸,所花的时间也多一天。那么小灰吃掉整个面包需要多少天呢?

答案是从1累加到10的总和,也就是55天。

如果面包的长度是 N 寸呢?

此时吃掉整个面包,需要 1+2+3+......+ n-1 + n = (1+n)*n/2 = 0.5n^2 + 0.5n。

记作 T(n) = 0.5n^2 + 0.5n。


上面所讲的是吃东西所花费的相对时间,这一思想同样适用于对程序基本操作执行次数的统计。刚才的四个场景,分别对应了程序中最常见的四种执行方式:

场景1:T(n) = 3n,执行次数是线性的。

void eat1(int n){
    for(int i=0; i<n; i++){;
        System.out.println("等待一天");
        System.out.println("等待一天");
        System.out.println("吃一寸面包");
    }
}

场景2:T(n) = 5logn,执行次数是对数的。

void eat2(int n){
    for(int i=1; i<n; i*=2){
        System.out.println("等待一天");
        System.out.println("等待一天");
        System.out.println("等待一天");
        System.out.println("等待一天");
        System.out.println("吃一半面包");
    }
}

场景3:T(n) = 2,执行次数是常量的。

void eat3(int n){
    System.out.println("等待一天");
    System.out.println("吃一个鸡腿");
}

场景4:T(n) = 0.5n^2 + 0.5n,执行次数是一个多项式。

void eat4(int n){
    for(int i=0; i<n; i++){
        for(int j=0; j<i; j++){
            System.out.println("等待一天");
        }
        System.out.println("吃一寸面包");
   }
}

渐进时间复杂度

有了基本操作执行次数的函数 T(n),是否就可以分析和比较一段代码的运行时间了呢?还是有一定的困难。

比如算法A的相对时间是T(n)= 100n,算法B的相对时间是T(n)= 5n^2,这两个到底谁的运行时间更长一些?这就要看n的取值了。

所以,这时候有了渐进时间复杂度(asymptotic time complexity)的概念,官方的定义如下:

若存在函数 f(n),使得当n趋近于无穷大时,T(n)/ f(n)的极限值为不等于零的常数,则称 f(n)是T(n)的同数量级函数。

记作 T(n)= O(f(n)),称O(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度,简称时间复杂度。

渐进时间复杂度用大写O来表示,所以也被称为大O表示法。




如何推导出时间复杂度呢?有如下几个原则:

如果运行时间是常数量级,用常数1表示;

只保留时间函数中的最高阶项;

如果最高阶项存在,则省去最高阶项前面的系数。

让我们回头看看刚才的四个场景。

场景1:

T(n) = 3n

最高阶项为3n,省去系数3,转化的时间复杂度为:

T(n) = O(n)

场景2:

T(n) = 5logn

最高阶项为5logn,省去系数5,转化的时间复杂度为:

T(n) = O(logn)

场景3:

T(n) = 2

只有常数量级,转化的时间复杂度为:

T(n) = O(1)

场景4:

T(n) = 0.5n^2 + 0.5n

最高阶项为0.5n^2,省去系数0.5,转化的时间复杂度为:

T(n) = O(n^2)


这四种时间复杂度究竟谁用时更长,谁节省时间呢?稍微思考一下就可以得出结论:

O(1)< O(logn)< O(n)< O(n^2)

在编程的世界中有着各种各样的算法,除了上述的四个场景,还有许多不同形式的时间复杂度,比如:

O(nlogn), O(n^3), O(m*n),O(2^n),O(n!)

今后遨游在代码的海洋里,我们会陆续遇到上述时间复杂度的算法。


时间复杂度的巨大差异




我们来举过一个栗子:

算法A的相对时间规模是T(n)= 100n,时间复杂度是O(n)

算法B的相对时间规模是T(n)= 5n^2,时间复杂度是O(n^2)

算法A运行在小灰家里的老旧电脑上,算法B运行在某台超级计算机上,运行速度是老旧电脑的100倍。

那么,随着输入规模 n 的增长,两种算法谁运行更快呢?


从表格中可以看出,当n的值很小的时候,算法A的运行用时要远大于算法B;当n的值达到1000左右,算法A和算法B的运行时间已经接近;当n的值越来越大,达到十万、百万时,算法A的优势开始显现,算法B则越来越慢,差距越来越明显。

这就是不同时间复杂度带来的差距。


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